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Yields and Curves in Fixed Income Market

cq / 2021-02-05

当前信息以及预期会price in 在市场交易品种之中。人们需要构建一些指标，综合各类市场数据，反应总体price in 的情况。比如权益类市场的大盘指数，以及固定收益市场的利率。

1. YTM

现券有不同期限和票息，综合其信息不能用价格本身，需要用 \(YTM\). 为表达简便，假设只有2期现金流： \[ \{y|P=\frac{C}{1+y}+\frac{C+100}{(1+y)^2}\} \] 用每天的现券价格数据，按剩余期限排列，剔除不合理报价，能得到一串不规则时间序列的 \(YTM\)。通过各类插值技术，可以得到关键期限\(y_1,y_2 \dots y_n\)，并形成 \(YTM\) Curve，这是外汇交易中心（CFETS）的做法。也有只保留关键期限附近的样本，在通过插值技术计算出其他期限的方法，比如中债。具体可见《债券收益率曲线的编制》来自于公众号 金学智库。

2. Spot rate

把公式 (1) 两边乘以\((1+y)^2\) \[ C(1+y)+C+100=P(1+y)^2 \] \(YTM\) 暗含了利息再投资收益率也是\(y\)，这不太合适。因此，我们需要用不同期限的\(y\)，来计算出实际的再投资收益率。计算实际再投资收益率之前，需要知道spot rate。采用Bootstrap的方法： \[ 1=\frac{1+y_1}{1+r_1} \]

\[ 1=\frac{y_2}{1+r_1} + \frac{1+y_2}{(1+r_2)^2} \]

以此类推，就可以算出 \(r_3, r_4 \dots r_n\), 也就形成了spot curve. 你再看某个资产的再投资收益率，就是期限结构真实反映的再投资收益率了， \[ P(1+r_2)^2=C\frac{(1+r_2)^2}{1+r_1}+C+100 \] 所以，spot rate适合用来定价。

3. Forward rate

上式中的 \(\frac{(1+r_2)^2}{1+r_1}-1\)，就是时间1到时间2的利率\(r_{12}\)，也即远期利率。站在当前时点来看，1块钱存两年，应该等于1块钱存1年，然后取出来再存一年。 \[ 1\times(1+r_2)^2=1\times(1+r_1)\times(1+r_{12}) \] 根据spot rate，可以求出\(r_{12},r_{13},\dots r_{1n}\), 这是一类Forward curve，表示1年之后的spot curve，当然你也可以2年之后的spot curve，这些都只包含了当前对未来预期的信息。如果你的预期与市场交易出来的forward curve 不一致，那你就可以交易它。

同时，也可以求出\(r_{12},r_{23},\dots r_{(n-1)n}\)，表示未来不同时期的1年即期利率。

这两类Forward curve在中债都提供，可以通过n和k两个参数控制你想要上述哪一条curve。

在有了第一条forward curve之后，也就可以计算forward YTM, 两者是可以互相推导的。 \[ 1=\frac{1+y_{12}}{1+r_{12}} \]

\[ 1=\frac{y_{13}}{1+r_{12}} + \frac{1+y_{13}}{(1+r_{13})^2} \]

就可以得到远期利率的到期收益率曲线。

4. Par rate

如果不太理解公式 (4)和公式 (8)。是因为有 \[ 1=\frac{c}{1+r_1}+\frac{1+c}{(1+r_2)^2}=\frac{c}{1+c}+\frac{1+c}{(1+c)^2} \] 使得左半部分成立的 \(c\) 称作par rate。右半部分等于1是天然成立的。这样比较看下来，par rate 有点像是spot rate 的平均。为什么要有par rate， 可以用来做一级发行的Coupon定价。

5. Swap rate

5.1 Swap rate

发现没有，整个链条下来，这些都是从市场的bonds中获取得到的利率期限结构。能不能纯粹一点，从市场交易的利率里面得到利率呢？有，Swap。固定现金流交换浮动现金流，Swap rate 可以理解为对未来一定期限浮动利率的预期，反应在远期利率上。

为了更好的理解Swap rate，我们不妨回到历史的第一笔互换定价，这时候没有Swap curve，对方提出要约，你采用债券交易出来的Spot Curve定价？

Time Spot Rate Forward Rate Fixed CF Floating CF
1 \(r_1\) —- \(r\) \(r_1\)
2 \(r_2\) \(r_{12}=\frac{(1+r_2)^2}{1+r_1}-1\) \(r\) \(r_{12}\)

初始互换时，肯定是双方都不能吃亏，互换价格为0。也即固定端和浮动端的现金流现值应该一致： \[ \frac{r}{1+r_1}+\frac{r}{(1+r_2)^2}=\frac{r_1}{1+r_1}+\frac{r_{12}}{(1+r_2)^2} \] 把\(r_{12}=\frac{(1+r_2)^2}{1+r_1}-1\) 代入可以求出固定端的利率\(r\)。这个\(r\)是什么呢？回头看看这个方程。 \[ 1=\frac{c}{1+r_1}+\frac{1+c}{(1+r_2)^2} \] 可以证明，\(c=r\)。也就是说，Swap rate 就是当前给定期限结构的Par rate。

5.2 Swap Curve

互换市场逐步成熟，交易出来了不同期限的Swap rate，那就有人不同意采用债券交易出来的Curve来定价了，是时候考虑采用Swap Curve。

CFETS通过交易量靠前（Top30）的机构报价（剔除4个最高和最低）平均，给出的Swap利率曲线结构（12:10 定盘和16:40收盘），包含报买，报卖两条线。当前市场主流还是FR007（75%）和Shibor-3M（15%）这两个品种，年限也集中在0.5年,1年和5年。

其他关键年限的互换利率是CFETS通过线性插值得来的，这也难免影响互换利率曲线的纯粹性（所以各家机构采用的spot curve也会不一样）。

有了Swap Curve，可以通过式 (4) 和 式 (6) 得到Swap 的spot curve 和 forward curve。这些CFETS也会公布，Wind用YC快捷键可取。

6. Summary